صياغة وتقدير النموذج الخطي البسيط

يعد النموذج الخطي البسيط، أبسط أشكال النماذج الرياضية، فهو عبارة عن عملية تقدير العلاقة الخطية بين متغيرين أحدهما تابع والآخر مستقل، كما في نموذج الانحدار الآتي 2[1]:

يمثل مشاهدات المتغير التابع مثل (الإنفاق العائلي)، في حين يمثل مشاهدات المتغير المستقل مثل (دخل الأسرة)، في حين يمثل الخطأ العشوائي (يجب وجوده في النموذج لأنه ليس لدينا علاقة تامة بين المتغيرين) والذي يمثل التغيرات الحاصلة في المتغير التابع نتيجة تأثير عدة متغيرات أخرى غير مدروسة. وأن α و β تمثل معلمات نموذج الانحدار الخطي البسيط للمجتمع، وتستخدم إحدى طرق التقدير في تقدير معلمات خط الانحدار البسيط للعينة، مثل طريقة المربعات الصغرى العادية[2] (OLS)[3]، أي تقدير معلمات النموذج الآتي :

ملاحظة

مبدأ عمل طريقة المربعات الصغرى العادية هي تدنية الأخطاء العشوائية إلى اقل قيمة لها حيث يوضح الشكل التالي سبب تسمية الطريقة بالمربعات الصغرى لأنها تهدف إلى تصغير مربعات الأخطاء التي تعبر عن الفرق بين القيم الحقيقية والنظرية

الشكل 1: منحنى يبين عمل طريقة المربعات الصغرى

يمثل القيم المقدرة للمتغير التابع من خلال النموذج المقدر أعلاه، وأن تمثل معلمات النموذج المقدرة من العينة والتي يمكن حسابهما من خلال الصيغ التالية:

مثال

يبين الجدول التالي تطور كل من الاستهلاك والدخل المتاح في الجزائر خلال السنوات(2001-2007) مصدر البيانات الديوان الوطني للإحصاء [4] ONS[5] *[4]

الجدول 1: تطور الاستهلاك والدخل خلال 7 سنوات

المطلوب: ارسم سحابة النقاط (الاستهلاك-الدخل) ثم احسب المعادلة:

الحل:

أولا: رسم سحابة النقاط

الشكل 2: سحابة النقاط (الاستهلاك-الدخل)

ثانيا: حساب معاملات الانحدار باستغلال الجدول التالي:

الجدول 2: حساب معاملات الانحدار

لدينا:

و

ومنه النموذج المقدر يكتب كما يلي: