Biostatistique

Fréquences relatives cumulées et effectifs cumulés

La fréquence relative cumulée est la somme des fréquences relatives correspondantes aux valeurs de la variable statistique inférieure à

\begin{aligned} F_{1} & =f_{1} \\ F_{2} & =f_{1}+f_{2} ; \\ F_{3} & =f_{1}+f_{2}+f_{3} ; \\ & \vdots \\ F_{i} & =f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{j}+\ldots+f_{i} . \end{aligned}

La fréquence relative cumulée indique la proportion des individus pour lesquels la variable statistique est inférieure à . De la même façon on définit les effectifs cumulés

N_{i}=\sum_{j=1}^{i} n_{j}

D'une manière équivalente, la fréquence relative cumulée est donnée par :

F_{i}=\frac{N_{i}}{n}

Variable statistique discrète

Exemple

On reprend l'exemple du cas discret (l'exemple 1.5 des comprimés défectueux)

Remarque

\begin{gathered} \sum_{i=1}^{k} f_{i}=1 \\ F_{i}=0 \text { si } x_{i}<x_{1} ; \\ F_{i}=1 \text { si } x_{i}>x_{k}, \end{gathered}

est la plus petite valeur observée et est la plus grande valeur observée.

Soit une variable statistique discrète et les valeurs rangées dans l'ordre croissant. La fonction de répartition d'une v.s. discrète est définie de dans et est donnée par :

F(x)= \begin{cases}0, & \text { si } x<x_{1} \\ f_{1}, & \text { si } x_{1} \leq x<x_{2} \\ f_{1}+f_{2}, & \text { si } x_{2} \leq x<x_{3} \\ \vdots & \\ f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{i}, & \text { si } x_{i} \leq x<x_{i+1} \\ \vdots & \text { si } x \geq x_{k}\end{cases}

Exemple

Écrivons la fonction de répartition de la variable statistique $X$ de l'exemple des comprimés défectueux

F(x)= \begin{cases}0, & \text { si } x<0 \\ 0.375, & \text { si } 0 \leq x<1 ; \\ 0.64, & \text { si } 1 \leq x<2 ; \\ 0.835, & \text { si } 2 \leq x<3 ; \\ 0.95, & \text { si } 3 \leq x<4 \\ 0.995, & \text { si } 4 \leq x<5 \\ 1, & \text { si } x \geq 5\end{cases}

La courbe cumulative est la représentation graphique des fréquences relatives cumulées. Dans le cas discret, la courbe cumulative est une courbe en escalier (voir figure suivant), dont les paliers horizontaux ont pour coordonnées .

Courbe des fréquences relatives cumulées (courbe cumulative)

Variable statistique continue

On reprend l'exemple précédent sur la taille des étudiants. Les effectifs et les fréquences relatives cumulées sont données dans le tableau suivant :

La courbe cumulative est donnée dans la figure suivante :

Courbe des fréquences relatives cumulées du cas continu.
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