Biostatistique

Combinaisons

Combinaison sans répétitions (sans remises)

Définition

Étant donné un ensemble de objets. On appelle combinaisons de objets tout ensemble de objets pris parmi les objets sans remise.

Le nombre de combinaisons de objets parmi et sans remise, est :

C_{n}^{p}=\frac{n !}{(n-p) ! p !}

avec .

Remarque

C_{n}^{p}=\frac{A_{n}^{p}}{p !}=\frac{n !}{(n-p) ! p !}

Exemple

Le tirage au hasard de cartes dans un jeu de cartes (main de poker) est une combinaison avec $ et . Le nombre de tirages possibles est

C_{32}^{5}=\frac{32 !}{(32-5) ! 5 !}=409696

Exemple

La formation d'une délégation de étudiants parmi un groupe de constitue une combinaison avec et . Le nombre de délégations possibles est

C_{20}^{2}=\frac{20 !}{(20-2) ! 2 !}=190

Combinaison avec répétitions (avec remises)

Le nombre de combinaisons de objets parmi et avec remise, est :

C_{n+p-1}^{p}=\frac{(n+p-1) !}{p !(n-1) !} .

Exemple

Soit la constitution de mots de lettres à partir d'un alphabet à lettres avec remise.

Le nombre de mots est

C_{5+3-1}^{3}=C_{7}^{3}=35 .

On distingue 3 cas possibles :

  • nombre de mots de lettres différentes et sans ordre;

  • nombre de mots de lettres différentes et une lettre redondante;

  • nombre de mots de lettres identiques;

au total, on a mots possibles.

Propriétés des combinaisons et binôme de Newton

1)

C_{n}^{0}=C_{n}^{n}=\frac{n !}{n !}=1

, on a

C_{n}^{1}=C_{n}^{n-1}=\frac{n !}{(n-1) !}=n

, on a

C_{n}^{2}=C_{n}^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}
2)

Par récurrence, on déduit:

Si , on a

C_{n}^{p}=C_{n}^{n-p} .
Combinaisons composées ou formule de Pascal

Si , on a

C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^{p}=C_{n}^{p} .
3) Binôme de Newton

Le théorème du binôme de Newton donne l'expression générale du développement de .

\begin{aligned} (a+b)^{n} & =\sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} a^{n-p} b^{p} \\ & =C_{n}^{0} a^{n} b^{0}+C_{n}^{1} a^{n-1} b^{1}+\ldots+C_{n}^{n} a^{0} b^{n} \\ & =a^{n}+n a^{n-1} b+\ldots+b^{n} . \end{aligned}
Exemple

Pour , on a

\begin{aligned} (a+b)^{4} & =\sum_{p=0}^{4} C_{4}^{p} a^{4-p} b^{p} \\ & =C_{4}^{0} a^{4} b^{0}+C_{4}^{1} a^{3} b^{1}+\ldots+C_{4}^{4} a^{0} b^{4} \\ & =a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned}

Pour ,

(a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5} .
Remarque

Lorsque , on a et . Alors

2^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\ldots+C_{n}^{n}
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