Approche atomique de la rupture fragile

La rupture fragile s'accompagne de très peu de déformation plastique. Dans les alliages métalliques, elle est de type (figure II.1) soit :

- transgranulaire : rupture par clivage ou par glissement dans un grain ;

- intergranulaire : rupture par glissement le long des joints de grains 2[1]

Figure II.1 : (a) Clivage dans un acier doux ruptures transgranulaireInformations[2]
Figure II.1 : (b) intergranulaire (décohésion) dans un acier doux a gros grains.

L'approche atomique consiste à étudier une rupture par clivage en considérant les forces des liaisons atomiques ; la figure II.2 présente schématiquement ce type de rupture fragile qui se développe en mode d'ouverture, ou mode I selon la classification de la MLR[3].

Le clivage opère par rupture des liaisons inter atomiques dans une direction perpendiculaire au plan de rupture. Il se produit préférentiellement le long de plans atomiques bien définis qui dépendent des matériaux. Par exemple, les matériaux cubiques centrés clivent selon les plans (100) alors que les cubiques faces centrées clivent difficilement.3[4]

Pour calculer la contrainte de liaison atomique, il est nécessaire d'introduire la distance inter atomique r , puis de considérer la relation entre le déplacement des atomes, autour de leur position d'équilibre r0 , et la force appliquée. Cette force est la somme d'une composante d'attraction (en 1/ r 2) et d'une composante de répulsion (en −1 /r 9).

La contrainte de liaison est donc de la forme :

σ=A {(r0/r)2-(r0/r)9} II.1

Figure II.2 : rupture par clivage (mode I de rupture

Par la suite, nous entendons par contrainte théorique de clivage la valeur maximale, notée σc[5], de la fonction 𝜎(r) dont la courbe est représentée sur la figure II.3.Afin de mieux comparer les valeurs théorique et expérimentale de la contrainte de rupture par clivage, nous allons donner une approximation de la valeur théorique par deux méthodes différentes.

Première méthode

La déformation étant donnée par ε =log r /r0, le module d'Young E s’écrit :

E = ( d σ / d ε ) r / r 0 = r 0 ( d σ / dr ) r / r 0 II ,2 E=( d %sigma/d %varepsilon )r/r0=r0(d %sigma /dr )r/r0 II,2

soit en utilisant la relation II.1 :

E = 7 A II ,3 E=7A II,3

La contrainte théorique de clivage σc est définie par la condition d

dσ/dr =0, soit :r0 /r =0.18

Il vient finalement :

σ c = E / 14 II ,4 %sigma c=E/14 II,4 σ c = E / 14 II ,4 %sigma c=E/14 II,4

Figure II.3 : Courbe représentative de la fonction r tend vers σ(r)Informations[6]

Seconde méthode

Pour simplifier les calculs, on choisit parfois d'identifier la portion de la courbe représentative de la fonction r σ (r ) correspondant aux abscisses supérieures ou égales à r0 , à une sinusoïde (figure II.3). La quantité α est alors définie de sorte que le produit αr0 soit l'abscisse en laquelle le maximum de la contrainte est atteint. Sous cette hypothèse, la contrainte de liaison pour r>r0 s'écrit

σ= σc sin {(π/(2(α-1)(r/r0-1)} II.5

Si bien que le module d'Young devient

E = r 0 ( d σ / dr ) r / r 0 = π / 2 ( α 1 ) II ,6 E=r0(d %sigma/dr ) r/r0= %pi /2( %alpha-1 ) II,6

w=∫r0 2(α-1)r0 σdr II.7

D'autre part, on appelle énergie de cohésion par unité de surface, la quantité notée W, et définie par : (aire hachurée – figure II.4), soit

W = 4 α 1 π r 0 σ c W=4 { %alpha -1} over { %pi }r0 %sigma c

Figure II.4 : approximation sinusoïdale de la contrainte de liaison σ.Informations[7]

Or lors de la rupture, deux surfaces sont créées : on décide donc de poser W = 2 γS.

Ou γS[8] est appelée l’énergie de création de surface.Ce qui nous permet d’écrire la nouvelle formule :

γS=2 (α-1)/π .r0 σc II.8

La comparaison des égalités II.6 et II.8 permet d'éliminer le coefficient α et d'obtenir

L'expression γS= σc/E. r0 σc ,soit

σc= √(EγS/r0 ) II.9

E/10≤ σc≤4/E. II.10