Concentration de contraintes près d'un défaut
Introduction
Les calculs de dimensionnement des structures sont principalement basés sur la théorie de l'élasticité. Lorsque la limite d'élasticité est dépassée, des déformations plastiques se développent, ce qui nécessite l'utilisation des théories plus compliquées de la plasticité. 4[1]
Cependant, la fatigue des matériaux ou encore la corrosion sous tension, se produisent le plus souvent à des niveaux de contrainte relativement bas où la théorie de l'élasticité est applicable.Dans les structures, des entailles géométriques dues à des changements brusques de section (épaulements, gorge, cannelure, orifice de lubrification ...) sont souvent inévitables compte tenu de leur rôle fonctionnel. Au voisinage de ces incidents de forme, les répartitions des contraintes sont inhomogènes et conduisent à des concentrations de contraintes : la figure II.5 illustre ces concentrations où l'on observe que la contrainte atteinte à la racine du trou est bien plus élevée que la contrainte nominale σ nom de traction
appliquée à la plaque.

Le facteur de concentration des contraintes est le rapport de la contrainte maximale (σ max) observée à la racine de l'incident de forme sur la contrainte nominale (σ nom) à laquelle la structure est soumise. Ce facteur, noté Kt est donné par :
La sévérité de la concentration de contraintes dépend de la géométrie et de la configuration de l'entaille. Lorsqu'on conçoit une structure, on cherche à réduire autant que possible les concentrations de contraintes pour éviter notamment les problèmes de rupture par fatigue. Ce chapitre traite des différents aspects des concentrations des contraintes et des effets de la géométrie sur le facteur Kt: c'est l'une des questions fondamentales pour le dimensionnement en fatigue des structures.
Détermination théorique du facteur de concentration de contraintes
Considérons une plaque avec un trou elliptique central, très petit par rapport aux dimensions de la plaque (figure II.6a).

Plaque uniformément chargée
La figure II.7 représente une plaque uniformément chargée, autrement dit, la contrainte σ∞ appliquée à la plaque est perpendiculaire en tout point à ses extrémités. Cette plaque est percée d'un très petit trou elliptique. On utilise les résultats du chapitre précédent pour déterminer les potentiels complexes Ď•(z) et χ(z) associés à cette configuration de chargement.

Les conditions limites aux bords de la plaque, c'est-à-dire à l'infini compte tenu de la taille importante de la plaque comparée à celle du trou elliptique, sont données par :
σx =σy=σz= σ et σxy=0 II.12
Le facteur de concentration des contraintes Kt est quant à lui donné par :
Kt = σ max/σ nom = 2a/b II.13
Plaque percée d'un trou elliptique sollicitée en traction simple
Les conditions limites aux bords de la plaque (figure II.8), sont données par :
σx =σy=σz= σ et σxy=0
Les conditions limites aux extrémités d'un trou elliptique, c'est-à-dire pour α=α0, sont comme dans le cas précédent (plaque uniformément chargée).
Kt= 2√(ρ/b) II.14

Les solutions pour cette configuration de chargement ont été proposées par Stevenson en 1945.
σ max =σ (1+2a/b) II.15
et le facteur de concentration des contraintes est alors donné par :
Kt=1+2√(ρ/a) II.16