ميكانيك الكم 2 - Quantum Mechanics 2
Topic outline
-
-
إسم ولقب الأستاذ : : Medjedel Soheyb
البريد الإلكتروني : soheyb.medjedel@univ-msila.dz
______________________________
_________ - الكلية : Sciences
- القسم : Physique
- المستوى الدراسي : Licence 3eme année : Physique théorique
- المقياس : Quantum Mechanics الميكانيك الكمومي 2
- السداسي : S5
- الرصيد : 6
- المعامل : 3
- الحجم الساعي: 4h30
-
إن مسللما ميكانيك الكم تعالج النقاط الأساسية الثلاث التالية:
1 - الوصف الرياض ي لحالة الجملة الكمومية ومقاديرها الفيزيائية.
2 - نتائج قياس مختلف المقادير الفيزيائية.
3 - التطور الزمني للجملة.
سنتعرض إذن في هذا الفصل إلى نصوص هذه المسللما التي تسلمح بالإجابة عن النقاط الثلاثة السلابقة. إن قولنا "مسللما " يعني أن هذه النصوص
ليس لها أساس رياض ي تقوم عليه، بل تعتبر هي القاعدة التي يؤسس عليها بناء النظرية الكمومية. لكن في المقابل أيضا، لم تكن هذه المسللما محضَ
تفكير مجرد، بل كانت وليدة التجارب الكثيرة التي أجريت قبل وأثناء بناء النظرية. لذلك فمنشؤها الأصلي هي التجربة التي استدعى التفكير في نتائجها
وضع هذه المجموعة من القواعد التي تتلاءم معها وتسلمح بتفسليرها -
إن المقدار الفيزيائي المسلمى بالعزم الحركي يلعب دورا مهما جدا سواء في ميدان ميكانيك الكم أو الميكانيك الكلاسيكي. فهو يمثل في الميكانيك
الكلاسيكي أحد المقادير المحفوظة بالنسلبة لتطور جملة معزولة مع الزمن وذلك بالإضافة إلى طاقتها واندفاعها. كما أنه محفوظ أيضا بالنسلبة للمسلائل
التي تدرس حركة جسليم خاضع لقوة مشتقة من كمون مركزي كما هو معروف. سنعود لدراسة هذه المسلألة الأخيرة في إطار ميكانيك الكم في الفصل -
لنطبق عليها النظريا التي سنثبتها في هذا القصل. كذلك تبرز فائدة هذا المقدار، أي العزم الحركي، في ميكانيك الكم من حيث أهميته في تصنيف
الأطياف الذرية والجزيئية والنووية، سبين الجسليما وكذلك مغناطيسلية المواد، وتفسلير بعض الظواهر كمفعول زيمان المغناطيس ي وغيرها كثير.
سنميز في هذه الدروس نوعين من لعزوم الحركية:
أ - العزم الحركي المداري 𝐋 (orbital anguler momentum) والذي يملك المقدار المكافئ الكلاسيكي له والمعرف ب ℒ=𝐫×𝐩 .
ب - العزم الحركي الذاتي، والذي نسلميه سبين Spin ونرمز له ب 𝐒 ، وهو مقدار كمومي بحت فهو لا يملك نظيرا له في الميكانيك الكلاسيكي.
في الحقيقية، سنرمز بصفة عامة للعزم الحركي بالحرف 𝐉 للعزم الحركي سواء كان مداريا أو عزم سبين أو مجموعهما أو تركيب عزوم حركية من
أنواع مختلقة𝐉=Σ𝐋𝑖𝑖 أو 𝐉=Σ𝐒𝑖𝑖 أو 𝐉=Σ(𝐋𝑖+𝐒𝑖)
-
إن تركيب العزوم الحركية معروف في الميكانيك الكلاسيكي، فلا شك أنه بالنسلبة لجملة مكونة من مجموعة من الجسليما المتفاعلة فيما بينها
فإن العزم الحركي الكلي للجملة هو المحفوظ وليس العزم الحركي الجزئي، أي الخاص بكل جسليم. كذلك الأمر بالنسلبة لميكانيك الكم، فالمقدار المحفوظ
هو العزم الحركي الكلي للجملة المدروسة. ولهذا سنتعرض في هذا الفصل إلى كيفية تركيب )أو جمع( العزوم الحركية لما لهذه المسلألة من أهمية كبيرة
جدا في كثير من ميادين الفيزياء )ذرية، جزيئية، نووية، فيزياء الجسليما تحت النووية، وغيرها(.
في الحقيقة، حتى لو كانت الجملة المدروسة مكونة من جسليم واحد كالإلكترون مثلا، فإننا نحتاج إلى مفهوم تركيب العزوم الحركية، ذلك أن كل
جسليم كمومي يملك نوعين من العزوم في الحالة العامة، وهما العزم الحركي المداري 𝐋 والعزم الحركي السلبيني 𝐒 . فلا يمكن مثلا فهم خواص ذرة
الهيدروجين بصفة جيدة دون معرفة كيفية تركيب هذه العزوم، خاصة إذا أردنا دراسة البنية الدّ قيقة أو فوق الدقيقة لأطياف الإمتصاص وا لإصدا ر
للذرا ، فهاملتوني الالكترون سيحتوي عندئذ على حد جديد يظهر لنا حين نقوم بالتصحيحا النسلبوية اللازمة لمعادلة شرودينغ ر (relativistic corrections) . إن هذا الحد هو عبارة عن التفاعل بين سبين الالكترون 𝐒 و عزمه الحركي المداري 𝐋 ويسلمى هذا التفاعل )أو التزاوج( تفاعل سبين –
مدار (spin-orbit coupling) حيث تكون شدته متناسبة مع جدائهما، أي (∝𝐋⋅𝐒) لا منهما ليس بثابت حركة لأنهما
. وفي هذه الحالة سنجد أن ك
لا يتبادلان مع هاملتوني الجملة بسلبب وجود حد التزاوج هذا، بل سيكون العزم الحركي الكلي الناتج من تركيبهما هو المقدار المحفوظ، أي أنه هو ثابت
الحركة، وهو ما نحتاجه عندما نريد تأسيس مجموعة تامة من الملحوظا المتبادلة. وهذه هي المسلألة المهمة في ميكانيك الكم، فالسلبب لحاجتنا إلى
عملية تركيب الع زوم هو البحث عن تلك التي تعتبر ثوابت الحركة، فإن كان الهاملتوني لا يتبادل مع العزوم الحركية الجزئية )الخاصة بكل جسليم
مكون للجملة( بسلبب وجود تفاعل بين الجسليما ، أو تفاعل بين عزومها الحركية، سنكون أمام مسلألة البحث عن العزم الحركي الكلي الذي سيتبادل
مع هاملتوني الجملة وبالتالي سيكون ثابتا للحركة كما سنرى بعد قليل.
في كل الأحوال سنتعرض لكثير من تركيبا العزوم سواء كانت راجعة لجسليم واحد أو لمجموعة من الجسليما ، كأن يكون تركيبا للعزوم الحركية
المدارية لوحدها أو السلبينية لوحدها أو تركيب كلا النوعين لكل الجسليما المتفاعلة. أي
𝐉=Σ𝐋𝑖𝑖 أو 𝐉=Σ𝐒𝑖𝑖 أو 𝐉=Σ(𝐋𝑖+𝐒𝑖)𝑖=Σ𝐉𝑖𝑖
( 3 - 1 )
ولذلك سنتعرض لهذه المسلألة في شكلها العام وهو تركيب عزمين 𝐉1 و 𝐉2 بحيث
𝐉=𝐉1+𝐉2
( 3 - 2 )
وذلك بغض النظر عن طبيعتهما أو مصدرهما، ثم سنتعرض بعد ذلك لبعض التطبيقا المهمة التي نحتاجها في دراسة ذرة الهيدروجين بشكل خاص.
نود في هذا السلياق أولا أن نعطي بعض الملاحظا والتعليقا على علاقة التركيب ) 3 - 2 ( التي تبدو بسليطة للوهلة الأولى، لكن في الواقع، يجب التنبه
عند التعامل معها إلى حقيقة أننا نتعامل مع مؤثرا ، ثم إن هذه المؤثرا قد تعمل في فضاءا حالا ذا أبعاد مختلفة، مما يسلتلزم تمثيل كل مؤثر
منهما بمصفوفا مختلفة الأبعاد والتي لا يمكن جمعها عندئذ. -
سنهتم في هذا الفصل بدراسة الخصائص الكمومية لجسليم كتلته 𝜇 خاضع لتأثي ر كمون مركزي 𝑉(𝑟) . ونقصد بالكمون المركزي ذلك الكمون
الذي يتعلق فقط ببعد هذا الجسليم المدروس 𝑟= 𝐫 عن مركز الاحداثيا المختار، ولا يتعلق باتجاه الحركة، أي يبقى ثابتا عندما يقوم الجسليم
بحركة دورانية حول المركز فقط دون تغيير في بعده 𝑟، ونقول بالتالي أن الكمون المركزي ذو تناظر كروي. إن الدراسة الكلاسيكية لحركة هذا الجسليم
في مثل هذا الكمون المركزي تقود الى انحفاظ العزم الحركي المداري للجسليم ℒ ، ومن هنا تظهر أهمية هذا الأخير في الميكانيك الكلاسيكي كونه يمثل
أحد ثوابت الحركة بالإضافة إلى الطاقة الكلية للجسليم في هذه الحالة. هذه الأهمية التي يمثلها العزم الحركي المداري ℒ تبرز أيضا عند الدراسة
الكمومية لهذه الجملة أين تقابله الملحوظة 𝐋 ، ذلك أن هاملتموني هذا الجسليم سيكون من الشكل
𝐻=𝐏22𝜇+𝑉(𝑟)=−ℏ22𝜇Δ+𝑉(𝑟)
( 4 - 1 )
وبالتالي سيكون متبادلا مع جميع مركبا العزم الحركي، ونكتب
𝐻,𝐋 =0
( 4 - 2 )
وبالتالي فهو مقدار محفوظ أيضا في الميكانيك الكم ومي. وفي الحقيقة يمكن البرهان على ذلك بصفة مباشرة، فبسلبب التناظر الكروي للكمون المركزي
ستكون دراسة الجملة في الاحداثيا الكروية (𝑟,𝜃,𝜑) هي المناسبة. وفي هذه الحالة، فإن عبارة اللابلاسيان Δ، الموجود في المعادلة ) 4 - 1 (، تكتب
بدلالة العزم الحركي المداري للجسليم كما يلي )انظر المعادلة 2 - 106 من الفصل الثاني(
Δ=1𝑟𝜕2𝜕𝑟2𝑟−𝐋2ℏ2𝑟2
( 4 - 3 )
ق بزوايا الحركة متَض من في مؤثر العزم الحركي المداري للجسليم. ومن خلال
ّ
بحيث أن كل التعل ) 4 - 1 ( و ) 4 - 3 ( نرى أن هاملتوني الجملة 𝐻 يكتب إذن
𝐻=−ℏ22𝜇1𝑟𝜕2𝜕𝑟2𝑟+𝐋22𝜇𝑟2+𝑉(𝑟)
( 4 - 4 )
وبما أن الملحوظة 𝐋2 تعمل فقط على الدوال المتعلقة بالزوايا الكروية فإن هذا الهاملتوني 𝐻 يتبادل إذن مع كل مركبا العزم الحركي المداري 𝐋 كما
كتبنا في ) 4 - 2 (. وبالتالي فإن المسلألة ا وثيقًا بدراسة
ً
مرتبطة ارتباط العزم الحركي المداري 𝐋 التي قمنا بها في الفصل الثاني، فهاملتوني الجملة سيتبادل
بالضرورة مع كل من الملحوظتين 𝐋2 و 𝐿𝒛 . وهذه الحقيقة مهمة جدا، فهي تفيدنا في البحث عن الحالا المسلتقرة للجملة والتي هي أشعة ذاتية
للهاملتوني 𝐻 لأننا سنبحث عنها بحيث تكون أشعة ذاتية مشتركة لمجموعة الملحوظا المتبادلة {𝐻,𝐋2,𝐿𝒛} ، وما يسلاعدنا في ذلك أننا نعلم عبارة
و خصائص الدوال الذاتية المشتركة للثنائية {𝐋2,𝐿𝒛} التي قمنا بدراستها سابقا. فنكتفي إذن لدراسة هذه المسلألة بالجزء المتعلق بالبعد 𝑟 . فمعادلة
شرودينغر ستختصر إلى معادلة تفاضلية لهذا المتغير الوحيد 𝑟 وهو ما يسلهل عملية البحث عن الحالا المسلتقرة للجسليم في هذا الكمون المركزي.
هذا من الناحية التقنية لحل مثل هذه المسلائل في ميكانيك الكم.
ومن الناحية العملية، فإن أهمية دراسة هذه المسلألة تكمن في إمكانية تحويل دراسة جملة مكونة من جسليمين متفاعلين بواسطة كمون يتعلق بالبعد
بينهما فقط 𝑉(𝑟= 𝐫𝟏−𝐫𝟐 ) إلى مسلألة بسليطة تخص جسليما وحيدا، نسلميه بالجسليم النسلبي، وهذا الجسليم سيكون خاضعا إلى كمون
مركزي ندرسه في المعلم المرتبط بمركز الكتل. وكتطبيق لهذه الحالة الخاصة فإن ذرة الهيدروجين المكونة من إلكترون وبرو تون هي مثال واضح على مثل
كمون التفاعل المتعلق بالبعد بين جسليمين فقط، وهو هنا الكمون الكهروستاتيكي )الكولوني( الذي سنحوله إلى مسلألة جسليم وهمي في حقل ق وى
مركزي. وكذلك دراسة نظائر الهيدروجين وكذا كل الذرا شبيهة الهيدروجين، أي المؤينة بحيث تحتوي طبقاتها الالكترونية على الكترون فقط والذي
سيتفاعل مع النواة المركبة من عدة جسليما والتي نعتبرها متماسكة لتكون بذلك جسليما واحدا يتفاعل مع الالكترون الوحيد.
سندرس إذن في البداية الحالة العامة المتعلقة بجسليم خاضع لكمون مركزي، ثم نناقش مسلألة الجسليمين المتفاعلين بواسطة كمون متعلق بالبعد
بينهما فقط لنمر بعد ذلك إلى التطبيقا العملية لهذه الدراسة على ذرة الهيدروجين لنبحث عن حالاتها المسلتقرة ومسلتويا الطاقة لها. -
إن المسلائل التي يمكن لميكانيك الكم أن يعالجها بصورة دقيقة قليلة جدا. فمن بين هذه المسلائل الممكن حلها بدقة نذكر مسلألة الهزاز التوافقي
وكذا مسلألة ذرة الهيدروجين أو مسلألة الجسليم الحر داخل علبة حيث يكون هاملتوني كل من هذه الجمل ننا من حل معادلة القيم بسليطا وهو ما يمَك
الذاتية بدقة. في واقع الأمر، تحتاج دراسة مسلائل الأنظمة الفيزيائية الحقيقية في ميكانيك الكم غالبا إلى استعمال طرق تقريبية، حيث تكون كل طريقة
مناسبة لفئة معينة من المسلائل مما ي عنى
سلمح بالحصول على حلول تقريبية مرضية. سنعالج في هذا الفصل طريقة نظرية الاضطرابا المسلتقرة التي ت
بالمسلائل ذا الهاملتوني المسلتقر، أي المسلتقل عن الزمن، والتي تسلمح بالحصول على التصحيحا من الرتب المختلفة اللازم إضافتها إلى مسلتويا
الطاقة وكذا تصحيحا أشعة الحالة المسلتقرة للنظام والتي من المفترض أن تكون معروفة بصفة دقيقة قبل حل المسلألة بوجود الاضطراب. كما
شائعة الاستعمال عند البحث عن خصائص الأنظمة التي تحتوي عددا (variational method) سنتعرض أيضا، ولكن باختصار، للطريقة التغايرية
كبيرا من الجسليما ، مثل البحث عن طاقة الحالة الأساسية لجملة إلكترونا جسلم صلب، غير أنها تختلف عن طريقة الاضطرابا المسلتقرة من
حيث أننا نجهل بداية في هذه الطريقة التغايرية الدوال الذاتية للجملة التي يتم تخمينها بالاعتماد على مميزا هاملتونيها.