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Dans ce cous on s'intéresse aux équations aux dérivées partielles elliptiques linéaires. Notre objectif est d'analyser la question d'existence, d'unicité et de la régularité des solutions pour cette famille de problèmes en se basant sur la méthode variationnelle. Plus précisément, on commence par donner un rappel sur les espaces de Sobolev et leurs propriétés, la formule de Green, l’inégalité de Poincaré, le , Théorème de Lax-Milgram et le Théorème de Stampacchia. En appliquant les théorèmes précédent pour démontrer l’existence et l’unicité des solutions en se basant sur la formulation variationnelle des quelques problèmes bien choisis.